기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 원의 교점

문제

그림과 같이 두 초점이 F(c,0){\mathrm{F}} \left( c , 0 \right), F′(−c,0)(c>0){\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)이고 장축의 길이가 1212인 타원이 있다. 점 F{\mathrm{F}}를 중심으로 하고 점 F′{\mathrm{F}}'을 지나는 원을 CC라 하자. 원 CC가 yy축과 만나는 점 중 yy좌표가 양수인 점을 P{\mathrm{P}}라 하고, 원 CC가 직선 PF{\mathrm{PF}}와 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 직선 PQ{\mathrm{PQ}}가 타원과 만나는 점 중 제11사분면에 있는 점을 R{\mathrm{R}}라 하면 점 R{\mathrm{R}}는 선분 PQ{\mathrm{PQ}}를 1:31 : 3으로 내분한다. 선분 OR{\mathrm{OR}}의 길이는? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [3점]

①83−10\displaystyle 8 \sqrt{3} - 10②73−8\displaystyle 7 \sqrt{3} - 8③63−6\displaystyle 6 \sqrt{3} - 6④53−4\displaystyle 5 \sqrt{3} - 4⑤43−2\displaystyle 4 \sqrt{3} - 2

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③

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해설

yy축이 선분 FF′{\mathrm{FF}}'의 수직이등분선이므로 PF′‾=PF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = {\overline{\mathrm{PF}}} 두 점 P{\mathrm{P}}, F′{\mathrm{F}}'이 원 CC 위의 점이므로 PF‾=FF′‾=2c\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{{\mathrm{FF}}'}} = 2 c 즉, 삼각형 PF′F{\mathrm{PF}}' {\mathrm{F}}는 한 변의 길이가 2c2 c인 정삼각형이다. 점 R{\mathrm{R}}이 선분 PQ{\mathrm{PQ}}를 1:31 : 3으로 내분하고, 점 F{\mathrm{F}}가 선분 PQ{\mathrm{PQ}}의 중점이므로 FR‾=12×PF‾=12×2c=c\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PF}}} = \frac{1}{2} \times 2 c = c 점 R{\mathrm{R}}는 정삼각형 PF′F{\mathrm{PF}}' {\mathrm{F}}의 변 PF{\mathrm{PF}}의 중점이므로 삼각형 FRF′{\mathrm{FRF}}'은 ∠FRF′=π2\displaystyle \angle {\mathrm{FRF}}' = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형이다. ∠F′FR=π3\displaystyle \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FR}} = \frac{\pi}{3}이므로 FR‾:F′R‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} : {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{R}}}} = 1 : \sqrt{3}, F′R‾=3c\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{R}}}} = \sqrt{3} c 점 R{\mathrm{R}}는 타원 위의 점이므로 F′R‾+FR‾=12\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{R}}}} + {\overline{\mathrm{FR}}} = 12 3c+c=12\displaystyle \sqrt{3} c + c = 12, c=63−6\displaystyle c = 6 \sqrt{3} - 6 ∠OFR=π3\displaystyle \angle {\mathrm{OFR}} = \frac{\pi}{3}, FR‾=FO‾=c\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} = {\overline{\mathrm{FO}}} = c이므로 삼각형 ROF{\mathrm{ROF}}는 한 변의 길이가 cc인 정삼각형이다. 따라서 OR‾=c=63−6\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = c = 6 \sqrt{3} - 6

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#타원의 정의#원

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