타원과 원의 거리 최소

타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$에서 $\displaystyle c = \sqrt{9 - 5} = 2$ 따라서 점 $\mathrm{F}$는 $( 2 , 0 )$이고 다른 하나의 초점을 점 $\mathrm{F}'$라 하면 $\mathrm{F}' ( - 2 , 0 )$이다. 점 $\mathrm{A} \left( 2 , 3 \right)$라 하면 반지름 $r$의 범위에 따라 아래 세 경우로 나뉜다. (ⅰ) 타원과 원이 서로 외부에 있을 때,

타원의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \overline{PF}' = 2 \sqrt{9} = 6$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 6 - \mathrm{\overline{PF}}'$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} - \overline{PF}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' - 6$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} - \overline{PF}$이 최솟값을 가지면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}'$이 최솟값을 가진다. 이때, 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 직선 $\mathrm{AF}'$ 위에 존재한다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} - \overline{PF}'$의 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' - 6$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AF}}' - \overline{AQ} - 6$ $\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} - r - 6$$= 5 - r - 6 = 6$ $\therefore$ $r = - 7$ $r > 0$이므로 조건을 만족하지 않는다. (ⅱ) 원과 타원이 교점을 가질 때,

(ⅰ)과 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} - \overline{PF}'$의 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' - 6$$= 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' = 12$ 이때 타원의 장축의 길이가 $6$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} < 6$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' < 6$이므로 조건을 만족하지 않는다. (ⅲ) 원이 타원을 포함할 때,

$\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} - \overline{PF}'$의 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' - 6$ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}'$가 최소이려면 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{F}'$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 이 순서대로 일직선을 이루어야 한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PF}' - 6$$\displaystyle = \mathrm{\left( \overline{AQ}' - \overline{AF}' \right)} - 6$ $\displaystyle = r - \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} - 6$$= r - 5 - 6 = 6$ $\therefore$ $r = 17$ 이상에서 $r = 17$이다.