기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 원의 각 탄젠트

문제

그림과 같이 한 초점이 F(c,0)\mathrm{F} ( \mathit{c} , 0 )인 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1과 두 점 A(a,0),B(0,b)\mathrm{A} \mathit{(} a , 0 ) , \mathrm{B} \mathit{(} 0 , b )가 있다. 점 B\mathrm{B}를 중심으로 하고 점 F\mathrm{F}를 지나는 원이 yy축과 만나는 점 중에서 yy좌표가 양수인 점을 C\mathrm{C}라 할 때, 직선 CF\mathrm{CF}와 직선 CA\mathrm{CA}가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 하자. tan⁡(∠CFB)=14\displaystyle \tan \left( \angle \mathrm{CFB} \right) = \frac{1}{4}일 때, tan⁡θ\tan \theta의 값은? (단, a,b,ca , b , c는 양수이다.) [4점]

①36145\displaystyle \frac{36}{145}②41145\displaystyle \frac{41}{145}③46145\displaystyle \frac{46}{145}④51145\displaystyle \frac{51}{145}⑤56145\displaystyle \frac{56}{145}

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①

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해설

∠FCO=α\angle \mathrm{F} CO = \alpha라 하면 ∠FBO=2α\angle \mathrm{F} BO = 2 \alpha이므로 점 B\mathrm{B}가 원의 중심이고 점 C\mathrm{C}와 점 F\mathrm{F}는 원위의 점이므로 tan⁡α=tan⁡∠CFB=14\displaystyle \tan \alpha = \tan \angle \mathrm{C} FB = \frac{1}{4}이다. 따라서 tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α=815\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan ^{2} \alpha} = \frac{8}{15}이므로 O‾F:B‾O:B‾F=8:15:17\displaystyle \overline{\mathrm{O}} F : \overline{\mathrm{B}} O : \overline{\mathrm{B}} F = 8 : 15 : 17이다. B‾F=C‾B\displaystyle \overline{\mathrm{B}} F = \overline{\mathrm{C}} B이고, 타원의 정의에 의해 B‾F:O‾A\displaystyle \overline{\mathrm{B}} F : \overline{\mathrm{O}} A이므로 C‾O:O‾A=32:17\displaystyle \overline{\mathrm{C}} O : \overline{\mathrm{O}} A = 32 : 17이다. ∴tan⁡(α+θ)=1732\displaystyle \therefore \tan ( \alpha + \theta ) = \frac{17}{32} tan⁡α=14\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{4}에서 tan⁡θ=1732−141+1732⋅14=36145\displaystyle \tan \theta = {\frac{\frac{17}{32} - \frac{1}{4}}{1 + {\frac{17}{32} \cdot {\frac{1}{4}}}} = \frac{36}{145}}

태그

#타원#탄젠트 덧셈정리

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