기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 원

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)F \mathit{(} c , 0 ), F′(−c,0)F' ( - c , 0 ) (c>0)( c > 0 )을 초점으로 하고 장축의 길이가 4인 타원이 있다. 점 F\mathrm{F}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 cc 인 원이 타원과 점 P\mathrm{P}에서 만난다. 점 P\mathrm{P}에서 원에 접하는 직선이 점 F′\mathrm{F}'을 지날 때, cc 의 값은? [3점]

①2\displaystyle \sqrt{2}②10−3\displaystyle \sqrt{10} - \sqrt{3}③6−1\displaystyle \sqrt{6} - 1④23−2\displaystyle 2 \sqrt{3} - 2⑤14−5\displaystyle \sqrt{14} - \sqrt{5}

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④

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해설

PF‾=c\displaystyle {\overline{\mathrm{P} F}} = c 이므로 타원의 정의에 의해 PF′‾=4−c\displaystyle {\overline{\mathrm{P} F'}} = 4 - c , FF‾′=2c\displaystyle \mathrm{\overline{FF}}' = \mathit{2} c 타원과 원의 교점 P\mathrm{P}에서 원의 접선이 F′\mathrm{F}'을 지나므로 △F′FP\mathrm{\triangle} F' FP 는 ∠P\mathrm{\angle} P 가 직각인 직각삼각형이다. F‾′F2=F‾′P2+FP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{F}' F} ^{2} = {\overline{F}' P} ^{2} + {\overline{FP}} ^{2} 이므로 4c2=c2+(4−c)24 c ^{2} = c ^{2} + ( 4 - c ) ^{2} c=23−2\displaystyle c = 2 \sqrt{3} - 2 (∵c<4\because c < 4)

태그

#타원#초점

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