타원과 원

[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 두 선분의 길이의 합의 최댓값을 구할 수 있는가? 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{49} + \frac{y ^{2}}{33} = 1$의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{F' P}} + {\overline{PQ}} + {\overline{FQ}} = 2 \times 7 = 14$ 이므로 $\displaystyle {\overline{PQ}} + {\overline{FQ}} = 14 - {\overline{F' P}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{PQ}} + {\overline{FQ}}$ 가 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle {\overline{F' P}}$가 최소가 되어야 한다. 원 $x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 4$의 중심을 $O' ( 0 , 3 )$이라 하면 $F' ( - 4 , 0 )$이므로 $\displaystyle {\overline{F' P}} \geq {\overline{F' O'}} - 2 = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} - 2 = 3$ $\displaystyle {\overline{PQ}} + {\overline{FQ}} = 14 - {\overline{F' P}} \leq 14 - 3 = 11$ 즉, $\displaystyle {\overline{PQ}} + {\overline{FQ}}$ 의 최댓값은 11