기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원과 수선의 발

문제

두 점 F(5,0)F ( 5 , 0 ), F′(−5,0)F' ( - 5 , 0 )을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 PP, QQ에 대하여 원점 OO에서 선분 PFPF와 선분 QF′QF'에 내린 수선의 발을 각각 HH와 II라 하자. 점 HH와 점 II가 각각 선분 PFPF와 선분 QF′QF'의 중점이고, OH‾×OI‾=10\displaystyle \overline{OH} \times \overline{OI} = 10일 때, 이 타원의 장축의 길이를 ll이라 하자. l2l ^{2}의 값을 구하시오. (단, OH‾≠OI‾\displaystyle \overline{OH} \neq \overline{OI}) [4점]

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해설

PF′‾\displaystyle \overline{PF'}와 QF‾\displaystyle \overline{QF}를 연결하여 PF′‾=2OH‾=2a\displaystyle \overline{PF'} = 2 \overline{OH} = 2 a, QF‾=2OI‾=2b\displaystyle \overline{QF} = 2 \overline{OI} = 2 b라 하면 타원의 정의에 의해 PF′‾+PF‾=QF′‾+QF‾\displaystyle \overline{PF'} + \overline{PF} = \overline{QF'} + \overline{QF}이고 ∠FPF′=∠FPF′=90∘\angle FPF' = \angle FPF' = 90 ^\circ이므로 ∴PF′‾=QF′‾\displaystyle \therefore \overline{PF'} = \overline{QF'}, PF‾=QF‾\displaystyle \overline{PF} = \overline{QF} △PFF′\triangle PFF'에서 4a2+4b2=1004 a ^{2} + 4 b ^{2} = 100 OH‾×OI‾=a×b=10\displaystyle \overline{OH} \times \overline{OI} = a \times b = 10 ∴l2=(2a+2b)2=180\therefore l ^{2} = ( 2 a + 2 b ) ^{2} = 180

태그

#타원#초점

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