타원과 쌍곡선의 정삼각형

[출제의도] 타원과 쌍곡선의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = \mathit{a}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = \mathit{b}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$는 선분 $\mathrm{PF}$의 중점이고 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{PF}}} = 2 \mathit{a}$ 타원 $C$의 장축의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{\mathrm{BF}'}} = {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{\mathrm{AF}}} = \mathit{2} a + a = 3 a$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{\mathrm{BF}'}} \right) - 3 {\overline{\mathrm{BQ}}} = 3$ $3 a - 3 b = 3$, $b = a - 1$ 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{Q}$는 모두 쌍곡선 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} - {\overline{\mathrm{BQ}}} = {\overline{\mathrm{BF}}} - {\overline{\mathrm{AF}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} = \mathit{(} 2 a - a ) + b = 2 a - 1$ 삼각형 $\mathrm{AQF}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} = {\overline{\mathrm{BF}}} - {\overline{\mathrm{BQ}}} = \mathit{2} a - b = a + 1$ 이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AF}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{QF}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AF}}} \times {\overline{\mathrm{QF}}} \times \cos 60 ^\circ$ $( 2 a - 1 ) ^{2} = a ^{2} + ( a + 1 ) ^{2} - a ( a + 1 )$ $3 a ^{2} - 5 a = 0$ $a ( 3 a - 5 ) = 0$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{5}{3}$ 따라서 $\displaystyle 60 {\times} {\overline{\mathrm{AF}}} = 60 \mathit{a} = 100$