타원과 삼각형 둘레

[출제의도] 타원의 정의와 삼각형의 닮음비를 이용하여 넓이를 구할 수 있는가? 삼각형 $\mathrm{BFA}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 5$ 이때, 삼각형 $\mathrm{F}' AO$와 삼각형 $\mathrm{F}' BF$는 길이의 비가 $1 : 2$인 닮은 삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = 2 \overline{AO} = 2 \mathit{a}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{BFA}$의 둘레의 길이는 $5 + 5 + 2 a = 10 + 2 a \cdots \cdots \text{㉠}$ 한편, 직각삼각형 $\mathrm{F}' PF$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{p}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' P = 10 - \mathit{p}$이므로 $( 10 - p ) ^{2} = p ^{2} + ( 2 c ) ^{2}$ $p ^{2} - 20 p + 100 = p ^{2} + 4 c ^{2}$ $20 p = 100 - 4 c ^{2}$ $\displaystyle p = 5 - \frac{1}{5} c ^{2}$ 한편, 삼각형 $\mathrm{F}' BP$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' B}} + {\overline{BP}} + {\overline{PF'}}$ $= 10 + ( 2 a - p ) + ( 10 - p )$ $= 20 + 2 a - 2 p \cdots \cdots \text{㉡}$ 삼각형 $\mathrm{BPF}'$와 삼각형 $\mathrm{BFA}$의 둘레의 길이의 차가 $4$이므로 $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$에서 $( 20 + 2 a - 2 p ) - ( 2 a + 10 ) = 4$ $10 - 2 p = 4$, $p = 3$ 이때, $\displaystyle p = 5 - \frac{1}{5} c ^{2}$이므로 대입하면 $\displaystyle 3 = 5 - \frac{1}{5} c ^{2}$ $c ^{2} = 10$, $\displaystyle c = \sqrt{10}$ 또, $a$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - c ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{15}$ 따라서, 삼각형 $\mathrm{AFF}'$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 c \times a = ac = \sqrt{15} \times \sqrt{10} = 5 \sqrt{6}$