기하이차곡선수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

타원과 포물선의 현

문제

두 초점이 F(0,4){\mathrm{F}} \mathit{\left( 0 , 4 \right)}, F′(0,−4){\mathrm{F}} \mathit{'} \left( 0 , - 4 \right)이고, 장축의 길이가 1010인 타원이 있다. 이 타원 위에 있는 제11사분면 위의 점 중 ∠F′FP=π3\displaystyle \angle {\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{FP}} \frac{= \mathit{\pi}}{3}를 만족시키는 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 직선 FP{\mathrm{FP}}가 xx축과 만나는 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 점 Q{\mathrm{Q}}를 초점으로 하고 준선이 x=a(a<0)x = a \left( a < 0 \right)인 포물선이 점 P{\mathrm{P}}를 지난다. 직선 FP{\mathrm{FP}}가 이 포물선과 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 R{\mathrm{R}}라 할 때, PR‾=p+q3\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = p + q \sqrt{3}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, aa는 상수이고, pp, qq는 유리수이다.) [4점]

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60

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해설

FP‾=k\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = k라 하면 타원의 장축의 길이가 1010이므로 F′P‾=10−FP‾=10−k\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 10 - {\overline{\mathrm{FP}}} \mathit{=} 10 - k FF′‾=8\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}} \mathit{'}}} = 8이고 ∠F′FP=π3\displaystyle \angle {\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{FP}} \frac{= \mathit{\pi}}{3}이므로 삼각형 PFF′{\mathrm{PFF}} \mathit{'}에서 코사인법칙에 의해 F′P‾2=FP‾2+FF′‾2−2×FP‾×FF′‾×cos⁡π3\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FP}}} \mathit{^{2}} + {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{FP}}} \mathit{\times} {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} \times \cos \frac{\pi}{3} (10−k)2=k2+82−2×k×8×12\displaystyle \left( 10 - k \right) ^{2} = k ^{2} + 8 ^{2} - 2 \times k \times 8 \times \frac{1}{2} 12k=3612 k = 36, 즉 k=3k = 3 ∠F′FP=π3\displaystyle \angle {\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{FP}} \frac{= \mathit{\pi}}{3}이고 OF‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = 4이므로 FQ‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 8 PQ‾=FQ‾−FP‾=8−k=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}} - {\overline{\mathrm{FP}}} = 8 - k = 5 점 P{\mathrm{P}}, R{\mathrm{R}}에서 준선 x=ax = a에 내린 수선의 발을 각각 H1{\mathrm{H}} \mathit{_{1}}, H2{\mathrm{H}} \mathit{_{2}}, 점 P{\mathrm{P}}에서 직선 RH2{\mathrm{RH}} \mathit{_{2}}에 내린 수선의 발을 H3{\mathrm{H}} \mathit{_{3}}이라 하자.

QR‾=t\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = t라 하자. 삼각형 RPH3{\mathrm{RPH}} \mathit{_{3}}에서 RH3‾=PR‾×sin⁡π3=(t+5)×32\displaystyle {\overline{{\mathrm{RH}} \mathit{_{3}}}} = {\overline{\mathrm{PR}}} \times \sin \frac{\pi}{3} = \left( t + 5 \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 두 점 R{\mathrm{R}}, P{\mathrm{P}}는 포물선 위의 점이므로, RH2‾=QR‾=t\displaystyle {\overline{{\mathrm{RH}} \mathit{_{2}}}} = {\overline{\mathrm{QR}}} = t이고 PH1‾=QP‾=5\displaystyle {\overline{{\mathrm{PH}} \mathit{_{1}}}} = {\overline{\mathrm{QP}}} = 5이다. H3H2‾=PH1‾=5\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{\mathit{_{3}}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}}}} = {\overline{{\mathrm{PH}} \mathit{_{1}}}} = 5 RH3‾=RH2‾−H3H2‾=t−5\displaystyle {\overline{{\mathrm{RH}} \mathit{_{3}}}} = {\overline{{\mathrm{RH}} \mathit{_{2}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{\mathit{_{3}}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}}}} = t - 5 ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 32(t+5)=t−5\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \left( t + 5 \right) = t - 5 즉 t=10+532−3=35+203\displaystyle t = \frac{10 + 5 \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 35 + 20 \sqrt{3} PR‾=t+5=40+203\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = t + 5 = 40 + 20 \sqrt{3}이므로 p=40p = 40, q=20q = 20 따라서 p+q=40+20=60p + q = 40 + 20 = 60

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#타원#포물선의 정의#초점

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