기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 직각삼각형 넓이

문제

[13 ~ 14] 그림과 같이 좌표평면에 x{{x}}축 위의 두 점 F{{\mathrm{F}}}, F′{{\mathrm{F}'}}과 점 P{\mathrm{P}}(0,n){{( 0 , n )}} (n>0){{( n > 0 )}}이 있다. 삼각형 PF′F{{\mathrm{PF}' F}}가 ∠FPF′=π2\displaystyle {{\mathrm{\angle} FPF' = \frac{\pi}{2}}}인 직각이등변삼각형일 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

두 점 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'을 초점으로 하고 점 P\mathrm{P}를 지나는 타원과 직선 PF′\mathrm{PF}'이 만나는 점 중 점 P\mathrm{P}가 아닌 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}의 둘레의 길이가 122\displaystyle 12 \sqrt{2}일 때, 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}의 넓이는? [4점] ①1111②1212③1313④1414⑤1515

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②

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해설

[출제의도] 타원의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다. 타원의 장축의 길이를 2a2 a라 하면 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}의 둘레의 길이가 122\displaystyle 12 \sqrt{2}이므로 PQ‾+QF‾+PF‾=(PF‾+PF′‾)+(QF‾+QF′‾)\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{PF}}} = ( {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} ) + ( {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{QF}'}} ) =4a=122\displaystyle = 4 a = 12 \sqrt{2} PF‾=PF′‾=a=32\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PF'}} = \mathit{a} = 3 \sqrt{2} F′Q‾\displaystyle \overline{\mathrm{F}' Q}=k= k라 하면 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}는 직각삼각형이므로 (k+32)2+(32)2=(62−k)2\displaystyle ( k + 3 \sqrt{2} ) ^{2} + ( 3 \sqrt{2} ) ^{2} = ( 6 \sqrt{2} - k ) ^{2}에서 k=2\displaystyle k = \sqrt{2} 따라서 구하는 넓이는 12×32×42=12\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 12

태그

#타원#초점#피타고라스

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