미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

타원과 두 원 넓이 극한

문제

좌표평면 위에 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{11 ^{2}} + \frac{y ^{2}}{3 ^{2}} = 1$ 과 점 $\mathrm{P} ( 11 , 0 )$ 이 있고, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 $C _{1}$ 과 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 $C _{2}$ 가 있다. 제 1사분면에 있는 원 $C _{1}$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{O} A$ 와 원 $C _{2}$ 의 교점을 $\mathrm{B}$ , 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ , 선분 $\mathrm{A} H$ 와 타원의 교점을 $\mathrm{Q}$ , 선분 $\mathrm{O} A$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} BQ$ 의 넓이를 $S _{1}$ 이라 하고, 삼각형 $\mathrm{A} PQ$ 의 넓이를 $S _{2}$ 라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} \frac{S _{2}}{\theta ^{2} \cdot S _{1}} = \frac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 보기

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

조건에 의해 $A ( 11 \cos \theta , 11 \sin \theta )$ , $B ( 3 \cos \theta , 3 \sin \theta )$ , $P ( 11 , 0 )$ , $Q ( 11 \cos \theta , 3 \sin \theta )$ , $H ( 11 \cos \theta , 0 )$ 로 놓을 수 있다. $\displaystyle \overline{AQ} = 8 \sin \theta$ , $\displaystyle \overline{BQ} = 8 \cos \theta$ , $\displaystyle \overline{PH} = 11 ( 1 - \cos \theta )$ $\displaystyle \triangle ABQ = S _{1} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AQ} \cdot \overline{BQ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \sin \theta \cdot 8 \cos \theta = 16 \sin 2 \theta$ $\displaystyle \triangle APQ = S _{2} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AQ} \cdot \overline{PH} = \frac{1}{2} \cdot 8 \sin \theta \cdot 11 ( 1 - \cos \theta )$ $= 44 \sin \theta ( 1 - \cos \theta )$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\frac{S _{2}}{\theta ^{2} \cdot S _{1}}} = \frac{44 \sin \theta ( 1 - \cos \theta )}{\theta ^{2} \cdot 16 \sin 2 \theta}$ $\displaystyle = \frac{11}{16} \cdot \frac{2 ( 1 - \cos \theta )}{\theta ^{2}} \cdot \frac{\frac{\sin \theta}{\theta}}{\frac{\sin 2 \theta}{2 \theta}} = \frac{11}{16}$ $\therefore p + q = 16 + 11 = 27$

← 전체 문제 목록으로

타원과 두 원 넓이 극한

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기