기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 위 점과 사각형 둘레

문제

좌표평면에서 두 점 A(0,3),B(0,−3)\mathrm{A} ( 0 , 3 ) , B ( 0 , - 3 )에 대하여, 두 초점이 F,F′\mathrm{F} , F'인 타원 x216+y27=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1위의 점 P\mathrm{P}가 AP‾=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{PF}를 만족시킨다. 사각형 AF′BP\mathrm{AF}' BP의 둘레의 길이가 a+b2\displaystyle a + b \sqrt{2}일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, PF‾<PF′‾\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} < \overline{PF'}이고, a,ba , b는 자연수이다.) [4점]

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해설

△AFP\triangle {\mathrm{AFP}}, △PF′B\triangle {\mathrm{PF}' B}는 이등변 삼각형이고 y=xy = x에 대칭이므로 AP‾=PF‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{PF}}, PF′‾=PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'} = \overline{\mathrm{PB}} 사각형 AF′BP\mathrm{AF}' BP의 둘레의 길이는 AF′‾+F′B‾+PB‾+PA‾\displaystyle \overline{\mathrm{AF}'} + \overline{\mathrm{F}' B} + \overline{\mathrm{PB}} + \overline{\mathrm{PA}} =32+32+PF′‾+PF‾\displaystyle = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \overline{\mathrm{PF}'} + \overline{\mathrm{PF}} =62+8\displaystyle = 6 \sqrt{2} + 8 ∴a+b=14\therefore a + b = 14

태그

#타원#초점#정의 활용

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