기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원 위 점과 꼭짓점 거리

문제

타원 x236+y220=1\displaystyle \frac{x _{} ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1의 두 초점을 F\mathrm{F}와 F′\mathrm{F}'이라 하고, 초점 F\mathrm{F}에 가장 가까운 꼭짓점을 A\mathrm{A}라 하자. 이 타원 위의 한 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PFF′=π3\displaystyle \mathrm{\angle} PFF' = \frac{\pi}{3}일 때, PA2‾\displaystyle \mathrm{\overline{PA ^{2}}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

초점의 좌표는 F(4,0),F′(−4,0)\mathrm{F} ( 4 , 0 ) , F' ( - 4 , 0 )이다. 타원 위의 점 P\mathrm{P}에서 두 초점에 이르는 거리의 합은 장축의 길이와 같으므로 PF‾=a,PF′‾=12−a\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{a} , \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{12} - a로 놓고 △PFF′\mathrm{\triangle} PFF'에서 제이코사인 법칙을 적용하면 (12−a)2=a2+82−2a⋅8⋅cos⁡π3\displaystyle ( 12 - a ) ^{2} = a ^{2} + 8 ^{2} - 2 a \cdot 8 \cdot \cos \frac{\pi}{3}이므로 (12−a)2=a2+64−8a( 12 - a ) ^{2} = a ^{2} + 64 - 8 a ∴a=5\therefore a = 5 P\mathrm{P}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 PH‾=asin⁡π3=523,FH‾=acos⁡π3=52\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \mathit{a} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{5}{2} \sqrt{3} , \mathrm{\overline{FH}} = \mathit{a} \cos \frac{\pi}{3} = \frac{5}{2} △PHA\triangle PHA에서 피타고라스의 정리에 의하여 PA‾2=(523)2+(92)2=39\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} = \left( \frac{5}{2} \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( \frac{9}{2} \right) ^{2} = 39

태그

#타원의 정의#코사인법칙

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