기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 위 점과 거리 차의 최솟값

문제

그림과 같이 yy축 위의 점 A(0,a)\mathrm{A} ( 0 , a )와 두 점 F,F′F , F'을 초점으로 하는 타원 x225+y29=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1 위를 움직이는 점 PP가 있다. AP‾−FP‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} - \overline{FP}의 최솟값이 11일 때, a2a ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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105105

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해설

[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가? 타원의 정의에 의하여 FP‾+F′P‾=10\displaystyle \overline{FP} + \overline{F' P} = 10이므로 FP‾=10−F′P‾\displaystyle \overline{FP} = 10 - \overline{F' P} AP‾−FP‾=AP‾−(10−F′P‾)=AP‾+F′P‾−10≥AF′‾−10\displaystyle \overline{AP} - \overline{FP} = \overline{AP} - ( 10 - \overline{F' P} ) = \overline{AP} + \overline{F' P} - 10 \geq \overline{AF'} - 10 AP‾−FP‾\displaystyle \overline{AP} - \overline{FP}의 최솟값이 1이므로 AF′‾=11,F′(−4,0)\displaystyle \overline{AF'} = 11 , F' ( - 4 , 0 )이므로 AF′‾=16+a2=11,16+a2=121\displaystyle \overline{AF'} = \sqrt{16 + a ^{2}} = 11 , 16 + a ^{2} = 121에서 a2=105a ^{2} = 105

태그

#타원의 정의#삼각부등식

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