기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원 삼각형 넓이

문제

타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1의 한 초점을 F(c,0)(c>0)F ( c , 0 ) ( c > 0 ), 이 타원이 xx축과 만나는 점 중에서 xx좌표가 음수인 점을 AA, yy축과 만나는 점 중에서 yy좌표가 양수인 점을 BB라 하자. ∠AFB=π3\displaystyle \angle AFB = \frac{\pi}{3}이고 삼각형 AFBAFB의 넓이는 63\displaystyle 6 \sqrt{3}일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [3점]

①2222②2424③2626④2828⑤3030

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④

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해설

원점에서 초점까지의 거리를 cc라고 하면 ∠OFB=π3\displaystyle \angle OFB = \frac{\pi}{3}이므로 ∴b=3c\displaystyle b = \sqrt{3} c c2=a2−b2=a2−3c2c ^{2} = a ^{2} - b ^{2} = a ^{2} - 3 c ^{2} ∴a=2ca = 2 c △AFB=(a+c)b2=33c22=63\displaystyle \triangle AFB = \frac{( a + c ) b}{2} = \frac{3 \sqrt{3} c ^{2}}{2} = 6 \sqrt{3} ∴c=2,a=4,b=23\displaystyle c = 2 , a = 4 , b = 2 \sqrt{3} ∴a2+b2=28a ^{2} + b ^{2} = 28

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#타원#초점

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