기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 삼각형 둘레

문제

좌표평면 위에 두 점 F(c,0)\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right), F′(−c,0)\mathrm{F}' \left( \mathit{-} c , 0 \right)(c>0c > 0)을 초점으로 하고 점 A(0,1)\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)을 지나는 타원 CC가 있다. 두 점 A\mathrm{A}, F′\mathrm{F}'을 지나는 직선이 타원 CC와 만나는 점 중 점 A\mathrm{A}가 아닌 점을 B\mathrm{B}라 하자. 삼각형 ABF\mathrm{ABF}의 둘레의 길이가 1616일 때, 선분 FF′\mathrm{FF}'의 길이는? [3점] ①66②43\displaystyle 4 \sqrt{3}③215\displaystyle 2 \sqrt{15}④62\displaystyle 6 \sqrt{2}⑤221\displaystyle 2 \sqrt{21}

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③

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해설

[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기 점 A(0,1)\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)을 지나는 타원 CC의 방정식을 x2a2+y2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y ^{2} = 1(a>0a > 0)이라 하자.

그림과 같이 AF‾+AF′‾=BF‾+BF′‾=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} + {\overline{\mathrm{AF}'}} = {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{\mathrm{BF}'}} = 2 a이고, 삼각형 ABF\mathrm{ABF}의 둘레의 길이가 1616이므로 4a=164 a = 16, a=4a = 4 ∴\therefore c2=16−1=15c ^{2} = 16 - 1 = 15 따라서 선분 FF′\mathrm{FF}'의 길이는 215\displaystyle 2 \sqrt{15}

태그

#타원#초점#정의

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