타원 접선 삼각형

[출제의도] 타원의 접선의 방정식을 이해한다. 접점의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$이라 하면 접점은 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{x _{1} ^{2}}{12} + \frac{y _{1} ^{2}}{16} = 1$ …… ㉠ 접점 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x _{1} x}{12} + \frac{y _{1} y}{16} = 1$ 이 접선이 점 $( 6 , 4 )$를 지나므로 $\displaystyle \frac{x _{1}}{2} + \frac{y _{1}}{4} = 1$에서 $y _{1} = 4 - 2 x _{1}$ …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $x _{1} ^{2} - 3 x _{1} = 0$, $x _{1} = 0$ 또는 $x _{1} = 3$ 이때 두 접점 $\left( 0 , 4 \right)$, $\left( 3 , - 2 \right)$를 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 6 - 0 = 6$이고, 직선 $\mathrm{AB}$는 $x$축에 평행하므로 점 $\mathrm{C}$와 직선 $\mathrm{AB}$사이의 거리는 $4 - \left( - 2 \right) = 6$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$