타원 각의 이등분

[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 추론하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \frac{9}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = \frac{15}{2}$이므로 각의 이등분선의 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} : {\overline{PF'}} = 3 : 5$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 3 \mathit{k}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{5} k$$\left( k > 0 \right)$이라 하자. 타원의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} = 8 \mathit{k} = 2 a$ 그러므로 $a = 4 k$

직선 $\mathrm{BF}$와 선분 $\mathrm{PF}'$이 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하면 각 $\mathrm{CPF}$의 이등분선이 선분 $\mathrm{CF}$와 수직으로 만나므로 삼각형 $\mathrm{PCF}$는 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{BF}}}$ 두 삼각형 $\mathrm{FBO}$와 $\mathrm{FCF}'$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FB}}} : {\overline{FC}} = {\overline{\mathrm{FO}}} : {\overline{FF'}} = 1 : 2$ 두 삼각형 $\mathrm{FBO}$, $\mathrm{FCF}'$은 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} : {\overline{\mathrm{F}' C}} = 1 : 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{F' C}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF'}} - {\overline{PC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF'}} - {\overline{PF}}$$= 5 k - 3 k$$= 2 k$ $\displaystyle \mathrm{\overline{F' C}}$$\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{OB}}} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle k = \sqrt{3}$, $\displaystyle a = 4 \sqrt{3}$ $c ^{2} = a ^{2} - b ^{2}$이므로 $36 = 48 - b ^{2}$ $b ^{2} = 12$, $\displaystyle b = 2 \sqrt{3}$ 따라서 $a \times b = 24$