기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 초점과 선분

문제

그림과 같이 두 점 F(7,0)\displaystyle \mathrm{F} \mathit{\left( \sqrt{7} , 0 \right)}, F′(−7,0)\displaystyle \mathrm{F} \mathit{'} \left( - \sqrt{7} , 0 \right)을 초점으로 하고 장축의 길이가 88인 타원이 있다. FF′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FF}'}}=PF′‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{PF}'}}, FP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}}=23\displaystyle = 2 \sqrt{3}을 만족시키는 점 P\mathrm{P}에 대하여 점 F′\mathrm{F}'을 지나고 선분 FP\mathrm{FP}에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제11사분면 위의 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 선분 FQ\mathrm{FQ}의 길이는? (단, 점 P\mathrm{P}는 제11사분면 위의 점이다.) [3점]

①22②5\displaystyle \sqrt{5}③6\displaystyle \sqrt{6}④7\displaystyle \sqrt{7}⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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①

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해설

[출제의도] 타원의 성질 이해하기 직선 F′Q\mathrm{F}' Q와 직선 FP\mathrm{FP}가 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. 직선 F′Q\mathrm{F}' Q가 선분 FP\mathrm{FP}를 수직이등분하므로 PR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}}=FR‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FR}}}=3\displaystyle = \sqrt{3} 삼각형 FRF′\mathrm{FRF}'에서 FF′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FF}'}}=27\displaystyle = 2 \sqrt{7}, FR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}}=3\displaystyle = \sqrt{3}이므로 F′R‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' R}}=5= 5 장축의 길이가 88이므로 F′Q‾+QF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' Q}} + {\overline{\mathrm{QF}}}=F′R‾+RQ‾+QF‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{F}' R}} + {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QF}}}=8= 8 FQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}}=a= a라 하면 RQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{RQ}}}=3−a= \mathit{3} - a 삼각형 FQR\mathrm{FQR}에서 a2a ^{2}=(3−a)2+(3)2\displaystyle = \left( 3 - a \right) ^{2} + \left( \sqrt{3} \right) ^{2}, aa=2= 2 따라서 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이는 22

태그

#타원#초점

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