타원 초점과 중점 조건

[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{QM}} = \overline{\mathrm{FM}} = \overline{\mathrm{PM}} = 5$이므로 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{F}$는 중심이 $\mathrm{M}$이고 반지름의 길이가 $5$인 원 위의 점이다.

삼각형 $\mathrm{PQF}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle 6 ^{2} + {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} = 10 ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = 8$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{QF}'}} = 2 a$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} + {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{QF}'}} = {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QF}}} = 24 = 4 a$ $a = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} = 12$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} = 4$ 삼각형 $\mathrm{PF}' F$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle 4 ^{2} + 8 ^{2} = {\overline{\mathrm{F} F'}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} F'}} = 4 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle c = 2 \sqrt{5}$ $c ^{2} = a ^{2} - b ^{2}$이므로 $b ^{2} = 16$, $b = 4$ 따라서 이 타원의 단축의 길이는 $8$