기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 초점 삼각형 둘레

문제

그림과 같이 타원 x2100+y2k=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{k} = 1 위의 제11사분면에 있는 점 P\mathrm{P}와 두 초점 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'에 대하여 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F의 둘레의 길이가 3434일 때, 상수 kk의 값은? (단, 0<k<1000 < k < 100) [4점]

①3636②4141③4646④5151⑤5656

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④

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해설

[출제의도] 타원의 정의 이해하기 타원의 정의에 의하여 PF‾+PF′‾=20\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} = 20 F(c,0)\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right)(c>0c > 0)이라 하면 c2=100−kc ^{2} = 100 - k이므로 F′F‾=2100−k\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} = 2 \sqrt{100 - \mathit{k}} 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F의 둘레의 길이는 PF‾+PF′‾+F′F‾=20+2100−k=34\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \mathrm{\overline{PF'}} + {\overline{F' F}} = 20 + 2 \sqrt{100 - \mathit{k}} = 34 100−k=7\displaystyle \sqrt{100 - k} = 7 따라서 k=51k = 51

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