기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원 초점 삼각형

문제

타원 x2a2+y25=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{5} = 1의 두 초점을 F{\mathrm{F}}, F′{\mathrm{F}} \mathit{'}이라 하자. 점 F{\mathrm{F}}를 지나고 xx축에 수직인 직선 위의 점 A{\mathrm{A}}가 AF′‾=5\displaystyle \overline{{\mathrm{AF}} \mathit{'}} = 5, AF‾=3\displaystyle \overline{{\mathrm{AF}}} = 3을 만족시킨다. 선분 AF′{\mathrm{AF}} \mathit{'}과 타원이 만나는 점을 P{\mathrm{P}}라 할 때, 삼각형 PF′F{\mathrm{PF}} \mathit{'} {\mathrm{F}}의 둘레의 길이는? (단, aa는 a>5\displaystyle a > \sqrt{5}인 상수이다.) [3점] ①8\mathrm{8}②172\displaystyle \frac{17}{2}③9\mathrm{9}④192\displaystyle \frac{19}{2}⑤10\mathrm{10}

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⑤

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해설

FF′‾2=AF′‾2−AF‾2=16\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} ^{2} = {\overline{AF'}} ^{2} - {\overline{AF}} ^{2} = 16 또, a2−5=OF‾2=4\displaystyle a ^{2} - 5 = \mathrm{\overline{OF}} ^{2} = 4 에서 a2=9a ^{2} = 9 ∴a=3\therefore a = 3 따라서 삼각형 PFF′\mathrm{PFF}'의 둘레의 길이는 F′F‾+FP‾+PF′‾=4+2a=10\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} + {\overline{FP}} + {\overline{PF'}} = 4 + 2 a = 10

태그

#타원#초점

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