타원 초점 지나는 현

$\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} : {\overline{\mathrm{FQ}}} = 1 : 2$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 2 t \left( t > 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} : {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = 3 : 2$에서 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = 3 s$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = 2 s \left( s > 0 \right)$이라 하자. 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 모두 타원 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = t + 3 s = 8$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = 2 t + 2 s = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $t + 3 s = 2 t + 2 s$, 즉 $t = s = 2$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = 3 s = 6$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 3 t = 6$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = 2 s = 4$이므로 삼각형 ${\mathrm{F}}' {\mathrm{QP}}$는 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = {\overline{\mathrm{PQ}}}$인 이등변삼각형이다. $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{QP}} \right) = \frac{1}{3}$이므로 삼각형 ${\mathrm{FF}}' {\mathrm{Q}}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FQ}}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{FQ}}} \times {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{QF}} \right)$ $\displaystyle \left( 2 c \right) ^{2} = 4 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 4 \times 4 \times \frac{1}{3}$, $\displaystyle 4 c ^{2} = \frac{64}{3}$, $\displaystyle c = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$