탄젠트함수의 최대·최소

[출제의도] 닫힌구간에서 탄젠트함수의 최댓값과 최솟값을 이용하여 두 상수의 곱을 구할 수 있는가? 함수 $\displaystyle f ( x ) = a - \sqrt{3} \tan 2 x$의 그래프의 주기는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이다. 함수 $f ( x )$가 닫힌구간 $\displaystyle \left[ - \frac{\pi}{6} , b \right]$에서 최댓값과 최솟값을 가지므로 $\displaystyle - \frac{\pi}{6} < b < \frac{\pi}{4}$ 이다. 한편, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 구간 $\displaystyle \left[ - \frac{\pi}{6} , b \right]$에서 $x$의 값이 증가할 때, $y$의 값은 감소한다. 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{\pi}{6}$에서 최댓값 $7$을 가지므로 $\displaystyle f \left( - \frac{\pi}{6} \right) = a - \sqrt{3} \tan \left( - \frac{\pi}{3} \right) = 7$에서 $\displaystyle a + \sqrt{3} \tan \frac{\pi}{3} = 7$ $a + 3 = 7$ $a = 4$ 함수 $f ( x )$는 $x = b$에서 최솟값 $3$을 가지므로 $\displaystyle f ( b ) = 4 - \sqrt{3} \tan 2 b = 3$에서 $\displaystyle \tan 2 b = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 이때, $\displaystyle - \frac{\pi}{3} < 2 b < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle 2 b = \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle b = \frac{\pi}{12}$ 따라서 $\displaystyle a \times b = 4 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$