미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

탄젠트 역함수 미분

문제

정의역이 {x∣−π4<x<π4}\displaystyle \left\{ x | - \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} \right\}인 함수 f(x)=tan⁡2xf ( x ) = \tan 2 x의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, 100×g′(1)100 \times g' ( 1 )의 값을 구하시오. [3점]

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25

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해설

f(x)f ( x )의 역함수가 g(x)g ( x )이므로 g(1)=ag ( 1 ) = a라 하면 f(a)=1f ( a ) = 1이고, tan⁡2a=1\tan 2 a = 1에서 a=π8\displaystyle a = \frac{\pi}{8}이다. 이때 f′(x)=2sec⁡22xf' ( x ) = 2 \sec ^{2} 2 x이므로 f′(π8)=4\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{8} \right) = 4이다. 따라서 g′(1)=1f′(π8)=14\displaystyle g' ( 1 ) = \frac{1}{f' \left( \frac{\pi}{8} \right)} = \frac{1}{4} 100g′(1)=25100 g' ( 1 ) = 25

태그

#역함수의 미분법#삼각함수

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