탄젠트·코사인 교점 원

두 양수 $a$, $b$에 대하여 두 함수 $y = 3 a \tan bx$, $y = 2 a \cos bx$의 주기는 각각 $\displaystyle \frac{\pi}{b}$, $\displaystyle \frac{2 \pi}{b}$이고 두 함수의 그래프가 만나는 세 점 $\mathrm{A} _{1}$, $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{A} _{3}$에 대하여 선분 $\mathrm{A} _{1} A _{3}$을 지름으로 하는 원이 점 $\mathrm{A} _{2}$를 지나고 이 원의 넓이가 $\pi$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{A _{1} A _{3}}}} = 2$$\displaystyle = \frac{2 \pi}{b}$ $\therefore$$b = \pi$

두 함수의 교점의 $x$좌표는 $3 a \tan \pi x = 2 a \cos \pi x$, $\displaystyle 3 \frac{\sin \pi x}{\cos \pi x} = 2 \cos \pi x$ $3 \sin \pi x = 2 \cos ^{2} \pi x = 2 \left( 1 - \sin ^{2} \pi x \right)$ $\left( 2 \sin \pi x - 1 \right) \left( \sin \pi x + 2 \right) = 0$ $\therefore$$\displaystyle \sin \pi x = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \pi x = \frac{1}{6} \pi$ 또는 $\displaystyle \pi x = \frac{5}{6} \pi$ 또는 $\displaystyle \pi x = \frac{13}{6} \pi$이므로 $\displaystyle \mathrm{A} _{1} \mathit{\left( \frac{1}{6} , \sqrt{3} a \right)}$, $\displaystyle \mathrm{A} _{2} \mathit{\left( \frac{5}{6} , - \sqrt{3} a \right)}$, $\displaystyle \mathrm{A} _{3} \mathit{\left( \frac{13}{6} , \sqrt{3} a \right)}$ 선분 $\mathrm{A} _{1} A _{2}$와 $\mathrm{A} _{2} A _{3}$가 서로 수직이므로 $\displaystyle \frac{- 2 \sqrt{3} a}{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} \times \frac{2 \sqrt{3} a}{\frac{13}{6} - \frac{5}{6}} = \mathit{-} 1$ $\therefore$$\displaystyle a ^{2} = \frac{2}{27}$ $\therefore$$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \pi \right) ^{2}$$\displaystyle = a ^{2} = \frac{2}{27}$ $p = 27$, $q = 2$이므로 $p + q = 29$