탄젠트 그래프 위 정삼각형

[출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? $\displaystyle \frac{\pi}{\frac{\pi}{a}} = a$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $a$이다. 직선 $\mathrm{AB}$는 원점을 지나고 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직선이므로 양수 $t$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( t , \sqrt{3} t \right)}$로 놓으면 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( - t , - \sqrt{3} t \right)}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 4 t$이다. 이때, 함수 $f \left( x \right)$의 주기가 $a$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$= 4 t$$= a$이고, $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( - t + a , - \sqrt{3} t \right)}$, 즉 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( 3 t , - \sqrt{3} t \right)}$이다. 점 $\mathrm{C}$가 곡선 $y$$\displaystyle = \tan \frac{\pi x}{a}$$\displaystyle = \tan \frac{\pi x}{4 t}$ 위의 점이므로 $\displaystyle - \sqrt{3} t$$\displaystyle = \tan \frac{\pi \times 3 t}{4 t}$ $\displaystyle - \sqrt{3} t$$\displaystyle = \tan \frac{3 \pi}{4}$에서 $t$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 4 t \right) ^{2}$$=$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{4}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$