미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 덧셈정리

문제

그림과 같이 곡선 y=2x\displaystyle y = \frac{2}{x} 위의 두 점 A(−1,−2)\mathrm{A} ( - 1 , - 2 ), B(1,2)\mathrm{B} ( 1 , 2 )에 대하여 ∠APB=π4\displaystyle \mathrm{\angle} APB = \frac{\pi}{4}가 되도록 점 P(a,2a)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( a , \frac{2}{a} \right)}를 정할 때, 상수 aa의 값은? (단, a>1a > 1) [4점]

y=2x\displaystyle y = \frac{2}{x}

①3+2\displaystyle 3 + \sqrt{2}②2+22\displaystyle 2 + 2 \sqrt{2}③4+2\displaystyle 4 + \sqrt{2}④42\displaystyle 4 \sqrt{2}⑤3+22\displaystyle 3 + 2 \sqrt{2}

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제해결하기

α\alpha β\beta y=2x\displaystyle y = \frac{2}{x}

두 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}를 지나는 직선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α\alpha라 하면 tan⁡α=2a−(−2)a−(−1)=2a\displaystyle \tan \alpha = \frac{\frac{2}{a} - \left( - 2 \right)}{a - \left( - 1 \right)} = \frac{2}{a} 두 점 B\mathrm{B}, P\mathrm{P}를 지나는 직선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 β\beta라 하면 tan⁡β=2a−2a−1=−2a\displaystyle \tan \beta = \frac{\frac{2}{a} - 2}{a - 1} = - \frac{2}{a} β−α=π−π4=34π\displaystyle \beta - \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \pi이므로 tan⁡(β−α)\tan \left( \beta - \alpha \right)=tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡α\displaystyle = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}=−4a1−4a2\displaystyle = \frac{- \frac{4}{a}}{1 - \frac{4}{a ^{2}}}=−4aa2−4\displaystyle = - \frac{4 a}{a ^{2} - 4}=−1= - 1 a2−4a−4=0a ^{2} - 4 a - 4 = 0 따라서 a=2+22\displaystyle a = 2 + 2 \sqrt{2} (a>1)\left( a > 1 \right)

태그

#삼각함수의 덧셈정리#유리함수

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