미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 덧셈정리

문제

AC‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 3, BC‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 1, ∠C=90∘\angle \mathrm{C} = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}를 4:14 : 1로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 선분 AB\mathrm{AB}를 2:32 : 3으로 내분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 P\mathrm{P}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 R\mathrm{R}, 점 Q\mathrm{Q}에서 선분 AC\mathrm{AC}에 내린 수선의 발을 S\mathrm{S}라 하자. ∠CPR=α\angle \mathrm{CPR} = \alpha, ∠CQS=β\angle \mathrm{CQS} = \beta라 할 때, tan⁡(β−α)=qp\displaystyle \tan ( \beta - \alpha ) = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 삼각형의 닮음비와 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결한다. 점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB}를 4:14 : 1로 내분하는 점이므로 PR‾=15AC‾=35\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \frac{1}{5} {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{3}{5}, RC‾=45BC‾=45\displaystyle {\overline{\mathrm{RC}}} = \frac{4}{5} {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{4}{5} 삼각형 PRC\mathrm{PRC}가 직각삼각형이므로 tan⁡α=RC‾PR‾=43\displaystyle \tan \alpha = \frac{{\overline{\mathrm{RC}}}}{{\overline{\mathrm{PR}}}} = \frac{4}{3} 점 Q\mathrm{Q}가 선분 AB\mathrm{AB}를 2:32 : 3으로 내분하는 점이므로 QS‾=25BC‾=25\displaystyle {\overline{\mathrm{QS}}} = \frac{2}{5} {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{2}{5}, SC‾=35AC‾=95\displaystyle {\overline{\mathrm{SC}}} = \frac{3}{5} {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{9}{5} 삼각형 QCS\mathrm{QCS}가 직각삼각형이므로 tan⁡β=SC‾QS‾=92\displaystyle \tan \beta = \frac{{\overline{\mathrm{SC}}}}{{\overline{\mathrm{QS}}}} = \frac{9}{2} 따라서 tan⁡(β−α)=tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡α\displaystyle \tan ( \beta - \alpha ) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}=92−431+92×43\displaystyle = \frac{\frac{9}{2} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{9}{2} \times \frac{4}{3}}=27−866+366=1942\displaystyle = \frac{\frac{27 - 8}{6}}{\frac{6 + 36}{6}} = \frac{19}{42} 이므로 p+q=42+19=61p + q = 42 + 19 = 61이다.

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#덧셈정리#내분점

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