미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 차 공식

문제

그림과 같이 AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2, BC‾=a\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}}} = a, ∠B=90∘\mathrm{\angle} B = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{A} B C에서 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 연장선 위에 AD‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4, BD‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 6인 점 D\mathrm{D}를 정한다.

tan⁡(∠DCA)=47\displaystyle \tan ( \angle \mathrm{DCA} ) = \frac{4}{7}를 만족하는 aa의 값을 p,qp , q라고 할 때, 곱 pqp q의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 알고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. ∠CDA=α,∠CAB=β\angle \mathrm{CDA} = \alpha , \angle \mathrm{CAB} = \beta라 놓으면 tan⁡(∠DCA)=tan⁡(β−α)\tan ( \angle \mathrm{DCA} ) = \tan ( \beta - \alpha ) =tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡α\displaystyle = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha} =a2−a61+a2×a6=47\displaystyle = \frac{\frac{a}{2} - \frac{a}{6}}{1 + \frac{a}{2} \times \frac{a}{6}} = \frac{4}{7} 위 식을 정리하면 a2−7a+12=0a ^{2} - 7 a + 12 = 0이므로 구하는 aa의 값의 곱은 1212이다.

태그

#탄젠트 덧셈정리#이차방정식

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