타일로 만든 직사각형

[출제 의도] 약수, 배수의 성질을 활용하여 문제를 해결할 수 있다. $12$개의 타일을 겹치지 않고 빈틈없이 평면에 붙여 직사각형 모양을 만들었다면, ($12$개의 타일들의 넓이의 합) $=$$5 ^{2} \times 2 + 5 \times 7 + 1 \times 3 = 88$$( \mathrm{cm} ^{2} )$ $=$(만들어진 직사각형의 넓이) 넓이가 $88$인 직사각형을 만들 수 있는 경우는 $1 \times 88$, $2 \times 44$, $4 \times 22$, $8 \times 11$ 이다. 그런데, 만들어진 직사각형의 각 변의 길이는 모두 $5$ 이상이어야 하므로 $8 \times 11$ 뿐이다. 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 $38 \mathrm{(} cm )$이다. [오답 피하기] 가로, 세로의 길이가 $5$인 타일의 한 변의 길이를 $x$라 하면, ($5 \times 5$인 타일 $2$개의 넓이의 합)$= 2 x ^{2}$ ($1 \times 5$인 타일 $7$개의 넓이의 합)$= 7 x$ ($1 \times 1$인 타일 $3$개의 넓이의 합)$= 3$ ∴ (타일 $12$개의 넓이의 합)$= 2 x ^{2} + 7 x + 3$ 이것을 인수분해하면 $2 x ^{2} + 7 x + 3 = ( 2 x + 1 ) ( x + 3 )$ 이므로 가로, 세로의 길이가 각각 $2 x + 1$과 $x + 3$ 즉, $11$과 $8$인 직사각형을 만들 수 있다.