수열의 합 빈칸 추론

$2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{2}{3} a _{n} + \frac{1}{6} n ^{2} - \frac{1}{6} n + 10$ 에서 $\displaystyle a _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$이므로 $a _{n + 1}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$ $\displaystyle = \frac{2}{3} \left( a _{n + 1} - a _{n} \right) + \left\{ \frac{1}{6} \left( n + 1 \right) ^{2} - \frac{1}{6} \left( n + 1 \right) + 10 \right\}$$\displaystyle - \left( \frac{1}{6} n ^{2} - \frac{1}{6} n + 10 \right)$ $\displaystyle = \frac{2}{3} \left( a _{n + 1} - a _{n} \right) + {\square {\frac{1}{3} n}}$ 이 식을 정리하면 $\displaystyle 2 a _{n} + a _{n + 1} = 3 \times {\square {\frac{1}{3} n}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\therefore$ $2 a _{n} + a _{n + 1} = n$ 이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{2}{3} a _{n} + \frac{1}{6} n ^{2} - \frac{1}{6} n + 10 \left( n \geq 2 \right)$ 에서 양변에 $n = 2$를 대입하면 $a _{1} = 7$이므로 $\displaystyle a _{1} + a _{2} = \frac{2}{3} a _{2} + \frac{1}{6} \times 4 - \frac{1}{6} \times 2 + 10$ $\displaystyle 7 + \frac{1}{3} a _{2} = \frac{1}{3} + 10$ $a _{2} = {\square {10}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{12} a _{k} + \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{2 k + 1}$$\displaystyle = a _{1} + a _{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 2 a _{2 k + 1} + a _{2 k + 2} \right)$ $\displaystyle = 7 + 10 + \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 2 k + 1 \right)$ $\displaystyle = 17 + 2 \times \frac{5 \times 6}{2} + 5$ $= {\square {52}}$ 이다. $\therefore$ (가) $\displaystyle \frac{1}{3} n$, (나) $10$, (다) $52$ 따라서 $\displaystyle f \left( n \right) = \frac{1}{3} n$, $p = 10$, $q = 52$이므로 $\displaystyle \frac{p \times q}{f \left( 12 \right)} = \frac{10 \times 52}{\frac{1}{3} \times 12} = 130$