수열 Sn 보기

[출제의도] 이차식으로부터 수열의 여러 가지 성질을 발견한다. ㄱ. $p = 0$일 때, $S _{n} = 2 n$$= 2 + 2 ( n - 1 )$ 즉, 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$은 첫째항이 $2$이고 공차가 2인 등차수열이다. (참) ㄴ. $p = 1$일 때, $S _{n} = n ^{2} + 2 n$ 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$의 계차수열을 $\left\{ b _{n} \right\}$이라 하면 $b _{n} =$$S _{n+1} - S _{n}$ $= \left\{ ( n + 1 ) ^{2} + 2 ( n + 1 ) \right\} - \left\{ n ^{2} + 2 n \right\}$ $= 2 n + 3$ $= 5 + 2 ( n - 1 )$ 즉, 계차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $5$이고 공차가 2인 등차수열이다. 그러므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$의 계차수열은 공차가 2인 등차수열이다. (참) ㄷ. $p = 2$일 때, 제$1$항부터 제$n$항까지의 합이 $S _{n} = 2 n ^{2} + 2 n$인 수열의 일반항 $a _{n}$을 구하자. $n \geq 2$일 때, $a _{n} = S _{n} - S _{n-1}$ $= 2 n ^{2} + 2 n - \left\{ 2 ( n - 1 ) ^{2} + 2 ( n - 1 ) \right\}$ $= 4 n$ 이므로 $a _{n} = 4 n$($n \geq 2$) $\cdots$㉠ ㉠에 $n = 1$을 대입하면 $a _{1} = 4 \times 1 = 4$이고, $a _{1} = S _{1} = 2 \times 1 ^{2} + 2 \times 1$$= 4$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $4$이고 공차가 $4$인 등차수열이다. 따라서 $S _{n}$은 첫째항이 $4$이고 공차가 $4$인 등차수열의 제1항부터 제$n$항까지의 합을 의미한다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다. [다른풀이] ㄷ. $p = 2$일 때, $S _{n} = 2 n ^{2} + 2 n$$= 2 n ( n + 1 )$$\displaystyle = \frac{n ( 4 n + 4 )}{2}$$\displaystyle = \frac{n \left\{ 2 \times 4 + ( n - 1 ) 4 \right\}}{2}$ 즉, $S _{n}$은 첫째항이 $4$, 공차가 $4$인 등차수열의 제1항부터 제$n$항까지의 합을 의미한다.