수열 일반항 빈칸

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기 $n \left( n + 2 \right) b _{n + 1} = S _{n}$에 $n = 1$을 대입하면 $3 b _{2} = S _{1}$이므로 $\displaystyle b _{2} = \frac{1}{3}$ $b _{n} = S _{n} - S _{n - 1} \left( n \geq 2 \right)$이므로 $b _{n} = n \left( n + 2 \right) b _{n + 1} - \left( n - 1 \right) \left( n + 1 \right) b _{n}$ $\displaystyle \therefore b _{n + 1} = \frac{n}{n + 2} \times b _{n} \left( n \geq 2 \right)$$\cdots \cdots \text{㉠}$ 이때, $b _{1} = 1$이고 $\displaystyle b _{2} = \frac{1}{3}$이므로 $\text{㉠}$은 $n = 1$인 경우에도 성립한다. 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle b _{n + 1} = \square {\frac{n}{n + 2}} \times b _{n}$ $\cdots \cdots \left( * \right)$ $\left( * \right)$의 $n$에 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n - 1$을 차례로 대입하여 얻어진 $\left( n - 1 \right)$개의 등식을 변끼리 곱하면 $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{5}$$\displaystyle \times \cdots \times \frac{n - 2}{n} \times \frac{n - 1}{n + 1} b _{1}$ $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle b _{n} = \square {\frac{2}{n ( n + 1 )}}$ 따라서 $\displaystyle f \left( n \right) = \frac{n}{n + 2}$, $\displaystyle g \left( n \right) = \frac{2}{n ( n + 1 )}$이므로 $\displaystyle \frac{f \left( 11 \right)}{g \left( 12 \right)} = 66$