대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 일반항 빈칸

문제

두 실수 x,y(x>y)x , y ( x > y )가 x+y=1,xy=−1x + y = 1 , xy = - 1을 만족시킬 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 an=∑k=1nxn−kyk−1(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} x ^{n-k} y ^{k-1} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 으로 정의하자. 다음은 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 제 nn항을 구하는 과정이다.

x+y=1,xy=−1x + y = 1 , xy = - 1에서 두 실수 x,yx , y는 방정식 t2−t+t ^{2} - t + ㈎

=0= 0 의 두 근이다. 한편 an=∑k=1nxn−kyk−1\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} x ^{n-k} y ^{k-1} =xn−1+xn−2y+⋯+yn−1= x ^{n-1} + x ^{n-2} y + \cdots + y ^{n-1}⋯⋯(∗)\cdots \cdots ( * ) (∗)( * )은 첫째항이 xn−1x ^{n-1}이고 공비가 yx\displaystyle \frac{y}{x}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 an=□(나)5\displaystyle a _{n} = \frac{\square {( \text{나} )}}{\sqrt{5}}

위의 과정에서 ㈎에 들어갈 수를 mm, ㈏에 알맞은 식을 f(n)f ( n )이라 할 때, m+{f(3)}2m + \left\{ f ( 3 ) \right\} ^{2}의 값은? [3점] ①1717②1919③2121④2323⑤2525

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②

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해설

(t−x)(t−y)=t2−(x+y)t+xy( t - x ) ( t - y ) = t ^{2} - ( x + y ) t + xy이고 x+y=1x + y = 1, xy=−1xy = - 1 ⋯⋯ ㉠ 이므로 mm=xy= xy=−1= - 1 ana _{n}=xn−1(1−(yx)n)1−yx\displaystyle = \frac{x ^{n-1} \left( 1 - \left( \frac{y}{x} \right) ^{n} \right)}{1 - \frac{y}{x}}=xn−ynx−y\displaystyle = \frac{x ^{n} - y ^{n}}{x - y} ㉠에서 (x−y)2=(x+y)2−4xy=12−4(−1)=5( x - y ) ^{2} = ( x + y ) ^{2} - 4 xy = 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) = 5 ∴ x−y=5\displaystyle x - y = \sqrt{5} (∵ x>yx > y) ∴ ana _{n}=□xn−yn5\displaystyle = \frac{\square {{}_{x} ^{n} - y ^{n}}}{\sqrt{5}} ∴ f(n)f ( n )=xn−yn= x ^{n} - y ^{n} ∴ f(3)f ( 3 )=x3−y3= x ^{3} - y ^{3}=(x−y)3+3xy(x−y)= \left( x - y \right) ^{3} + 3 xy ( x - y ) =(5)3+3(−1)(5)\displaystyle = ( \sqrt{5} ) ^{3} + 3 ( - 1 ) ( \sqrt{5} )=25\displaystyle = 2 \sqrt{5} ∴ m+{f(3)}2=−1+(25)2=19\displaystyle m + \left\{ f ( 3 ) \right\} ^{2} = - 1 + ( 2 \sqrt{5} ) ^{2} = 19

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#등비수열의 합#빈칸 추론

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