대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수열 일반항 빈칸

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=a2=1a _{1} = a _{2} = 1이고, Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} {a _{k}}라 할 때, an+1=Sn2Sn−1+(2n−1)Sn(n≥2)\displaystyle a _{n+1} = \frac{S _{n} ^{2}}{S _{n-1}} + ( 2 n - 1 ) S _{n} ( n \geq 2 ) 를 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다. an+1=Sn+1−Sna _{n+1} = S _{n+1} - S _{n}이므로 주어진 식으로부터 Sn+1=Sn2Sn−1+2nSn(n≥2)\displaystyle S _{n+1} = \frac{S _{n} ^{2}}{S _{n-1}} + 2 n S _{n} ( n \geq 2 ) 이다. 양변을 SnS _{n}으로 나누면 Sn+1Sn=SnSn−1+2n\displaystyle \frac{S _{n+1}}{S _{n}} = \frac{S _{n}}{S _{n-1}} + 2 n 이다. bn=Sn+1Sn\displaystyle b _{n} = \frac{S _{n+1}}{S _{n}}이라 하면 b1=2b _{1} = 2이고 bn=bn−1+2n(n≥2)b _{n} = b _{n-1} + 2 n ( n \geq 2 ) 이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 일반항을 구하면 bn=□(가)×(n+1)(n≥1)b _{n} = \square {( \text{가} )} \times ( n + 1 ) ( n \geq 1 ) 이므로 Sn=□(가)×{(n−1)!}2(n≥1)S _{n} = \square {( \text{가} )} \times \left\{ ( n - 1 ) ! \right\} ^{2} ( n \geq 1 ) 이다. 따라서 a1=1a _{1} = 1이고, n≥2n \geq 2일 때 an=Sn−Sn−1=□(나)×{(n−2)!}2\begin{aligned} a _{n} & = S _{n} - S _{n - 1} \\ & = \square {( \text{나} ) ^{}} \times \left\{ ( n - 2 ) ! \right\} ^{2} \end{aligned} 이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(10)+g(6)f ( 10 ) + g ( 6 )의 값은? [4점] ①110110②125125③140140④155155⑤170170

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④

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해설

[출제의도] 수열의 일반항을 구하는 과정을 이해할 수 있는가? b1=2b _{1} = 2이고 bn=bn−1+2n(n≥2)b _{n} = b _{n - 1} + 2 n \left( n \geq 2 \right)이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 일반항을 구해보면 bn−bn−1=2nb _{n} - b _{n - 1} = 2 n 에서 b2−b1=2×2b _{2} - b _{1} = 2 \times 2 b3−b2=2×3b _{3} - b _{2} = 2 \times 3 ⋮\vdots bn−bn−1=2nb _{n} - b _{n - 1} = 2 n 이므로 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 더하면 bn−b1=2(2+3+⋅⋅⋅+n)b _{n} - b _{1} = 2 \left( 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n \right) ∴bn\therefore b _{n}=b1+2(2+3+⋅⋅⋅+n)= b _{1} + 2 \left( 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n \right) =2+2(2+3+⋅⋅⋅+n)= 2 + 2 \left( 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n \right) =2(1+2+3+⋅⋅⋅+n)= 2 \left( 1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n \right) =2×n(n+1)2=\displaystyle = 2 \times \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} =(가)nn (n+1)\left( n + 1 \right) 따라서 bn=Sn+1Sn\displaystyle b _{n} = \frac{S _{n + 1}}{S _{n}}이므로 Sn+1Sn=n(n+1)\displaystyle \frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = n \left( n + 1 \right) 에서 S2S1=1×2\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = 1 \times 2 S3S2=2×3\displaystyle \frac{S _{3}}{S _{2}} = 2 \times 3 ⋮\vdots SnSn−1=(n−1)n\displaystyle \frac{S _{n}}{S _{n - 1}} = \left( n - 1 \right) n 이고 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 곱하면 SnS1=1×22×32×⋅⋅⋅×(n−1)2×n\displaystyle \frac{S _{n}}{S _{1}} = 1 \times 2 ^{2} \times 3 ^{2} \times \cdot \cdot \cdot \times \left( n - 1 \right) ^{2} \times n ∴Sn=\therefore S _{n} =(가)nn ×{(n−1)!}2\times \left\{ \left( n - 1 \right) ! \right\} ^{2} 따라서 a1=1a _{1} = 1이고 n≥2n \geq 2일 때 ana _{n}=Sn−Sn−1= S _{n} - S _{n - 1} =n×{(n−1)!}2−(n−1)×{(n−2)!}2= n \times \left\{ \left( n - 1 \right) ! \right\} ^{2} - \left( n - 1 \right) \times \left\{ \left( n - 2 \right) ! \right\} ^{2} ={n(n−1)2−(n−1)}×{(n−2)!}2= \left\{ n \left( n - 1 \right) ^{2} - \left( n - 1 \right) \right\} \times \left\{ \left( n - 2 \right) ! \right\} ^{2} ==(나)(n−1)(n2−n−1)\left( n - 1 \right) \left( n ^{2} - n - 1 \right) ×{(n−2)!}2\times \left\{ \left( n - 2 \right) ! \right\} ^{2} ∴f(n)=n\therefore f \left( n \right) = n, g(n)=(n−1)(n2−n−1)g \left( n \right) = \left( n - 1 \right) \left( n ^{2} - n - 1 \right) ∴f(10)+g(6)\therefore f \left( 10 \right) + g \left( 6 \right)=10+5×29= 10 + 5 \times 29 =10+145=155= 10 + 145 = 155

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