수열 극한 함수 연속

함수 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} x + a ( x \leq 1 ) \\ \\ \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{n + 1} + 3 x ^{n}}{x ^{n} + 1}} ( x > 1 ) \end{aligned} \end{cases}}$ 실수 전체의 집합에서 연속이기 때문에 $x = 1$ 에서도 연속 $\therefore$$\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f ( x )}$ $\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f ( x )} = 1 + a \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \begin{aligned} f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{n + 1} + 3 x ^{n}}{x ^{n} + 1}} ( x > 1 ) \\ = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 2 x ^{n + 1} + 3 x ^{n} ) ( \frac{1}{x ^{n}} )}{( x ^{n} + 1 ) ( \frac{1}{x ^{n}} )}} = 2 x + 3 \end{aligned}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f ( x )} = 5 \cdots \text{㉡}$ ㉠,㉡에서 $a = 4$