공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수선의 길이 제곱합 빈칸

문제

그림과 같이 좌표평면에서 원점을 지나는 직선 $l$ 이 $x$ 축과 이루는 각의 크기가 $60 ^\circ$ 이고, 직선 $l$ 을 $y$ 축에 대하여 대칭이동시킨 직선 $m$ 이 있다. 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축과 두 직선 $l$ , $m$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 라 하자. 다음은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2} = \square {( \text{다} )}$ 를 구하는 과정이다. (단, 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $l$ 위에 있지 않다.)


	직선 $l$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$ 이고 직선 $m$ 의 방정식은 $y = \square {( \text{가} )} x$ 이다. 원 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점을 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$ 라 하면 $a > 0$ , $b > 0$ 이고 $a ^{2} + b ^{2} = r ^{2}$ 이다. 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축과 두 직선 $l$ , $m$ 에 내린 수선의 발이 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = b$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \frac{\left\| \sqrt{3} a - b \right\|}{\square {( \text{나} )}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = \frac{\left\| \sqrt{3} a + b \right\|}{\square {( \text{나} )}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2} = \square {( \text{다} )}$	ㅁ

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $s$ , $t$ 라 하고, (다)에 알맞은 식을 $f ( r )$ 라 할 때, $f ( s \times t )$ 의 값은? [4점] ① $14$ ② $15$ ③ $16$ ④ $17$ ⑤ $18$

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⑤

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[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이용하여 추론하기

직선 $l$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$ 이고 직선 $m$ 의 방정식은 $\displaystyle y = {\square {- \sqrt{3}}} x$ 이다. 원 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점을 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$ 라 하면 $a > 0$ , $b > 0$ 이고 $a ^{2} + b ^{2} = r ^{2}$ 이다. 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축과 두 직선 $l$ , $m$ 에 내린 수선의 발이 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = b$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = \frac{\left| \sqrt{3} a - b \right|}{{\square {2}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} = \frac{\left| \sqrt{3} a + b \right|}{{\square {2}}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2}$ $\displaystyle = \square {\frac{3}{2} r ^{2}}$

$\displaystyle s = - \sqrt{3}$ , $t = 2$ , $\displaystyle f ( r ) = \frac{3}{2} r ^{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( s \times t ) = f ( - 2 \sqrt{3} ) = 18$

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