수선의 발과 원

[출제의도] 삼각형의 닮음과 원의 성질을 이용하여 주어진 문제를 해결한다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 25$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다. 점 $\mathrm{D}$가 점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 30$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \mathrm{\overline{DC}} = 15$ 두 삼각형 $\mathrm{ADC}$, $\mathrm{BEC}$에서 $\mathrm{\angle} C$가 공통이고 $\angle \mathrm{ADC} = \angle BEC = 90 ^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{ADC} \backsim \triangle \mathrm{BEC}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} : \overline{CD} = \overline{BC} : \overline{CE}$이고 $\displaystyle 25 : 15 = 30 : \mathrm{\overline{CE}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = 18$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$가 원의 지름이므로 $\angle \mathrm{DGE} = 90 ^\circ$ $\angle \mathrm{BEC} = \angle DGC = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} \parallel \mathrm{\overline{BE}}$ 점 $\mathrm{D}$가 변 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \mathrm{\overline{GC}} = 9$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$가 원의 지름이므로 $\angle \mathrm{EFD} = 90 ^\circ$가 되어 삼각형 $\mathrm{EFC}$는 직각삼각형이다. 점 $\mathrm{G}$는 선분 $\mathrm{EC}$의 중점이므로 직각삼각형 $\mathrm{EFC}$의 외심이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} = \overline{GC} = 9$ 두 삼각형 $\mathrm{ADC}$, $\mathrm{EFC}$에서 $\mathrm{\angle} C$는 공통이고 $\mathrm{\angle} ADC = \angle EFC = 90 ^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{ADC} \backsim \triangle \mathrm{EFC}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} : \overline{CE} = \overline{CD} : \overline{CF}$이고 $\displaystyle 25 : 18 = 15 : \mathrm{\overline{CF}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \frac{54}{5}$이다. 그러므로 삼각형 $\mathrm{GFC}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{GF}} + \overline{FC} + \overline{CG}$$\displaystyle = 9 + \frac{54}{5} + 9$$\displaystyle = \frac{144}{5}$이다. 따라서 $p = 5$, $q = 144$이므로 $p + q = 149$ [다른 풀이]

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 25$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다. 점 $\mathrm{D}$가 점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 30$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \mathrm{\overline{DC}} = 15$ 직각삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{AB}} ^{2} - {\overline{BD}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{25 ^{2} - 15 ^{2}}$$= 20$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times {\overline{AD}} = \frac{1}{2} \times {\overline{AC}} \times {\overline{BE}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 30 \times 20 = \frac{1}{2} \times 25 \times {\overline{\mathrm{BE}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = 24$ 직각삼각형 $\mathrm{BCE}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{EC}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{BC}} ^{2} - {\overline{BE}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{30 ^{2} - 24 ^{2}}$$= 18$ 선분 $\mathrm{DE}$가 원의 지름이므로 $\angle \mathrm{DGE} = 90 ^\circ$ $\mathrm{\angle} BEC = \angle DGC = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} \parallel \mathrm{\overline{BE}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \mathrm{\overline{DC}}$이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \mathrm{\overline{GC}} = 9$ 조건에 의해 사각형 $\mathrm{EDFG}$는 원에 내접한다. 원에 내접하는 사각형에서 두 대각의 합은 $180 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} FGE + \angle EDF = 180 ^\circ$ 또, $\mathrm{\angle} FGE + \angle CGF = 180 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} FGE + \angle EDF$$\mathrm{=} \angle FGE + \angle CGF$ $\mathrm{\angle} EDF = \angle CGF$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이때 $\mathrm{\angle} GCF$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{CGF}$, $\mathrm{CDE}$는 닮음이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원을 $O$라 하자. $\mathrm{\angle} AEB = 90 ^\circ$이므로 점 $\mathrm{E}$는 원 $O$ 위에 있다. 즉, 사각형 $\mathrm{ABDE}$는 원 $O$에 내접한다. 원에 내접하는 사각형에서 두 대각의 합은 $180 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} BAE + \angle BDE = 180 ^\circ$ 또, $\mathrm{\angle} BDE + \angle CDE = 180 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} BAE + \angle BDE$$\mathrm{=} \angle BDE + \angle CDE$ $\mathrm{\angle} BAE = \angle CDE$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ 두 각 $\mathrm{CDE}$, $\mathrm{EDF}$는 같은 각이므로 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\mathrm{\angle} BAE = \angle CGF$ 두 각 $\mathrm{BAC}$, $\mathrm{BAE}$는 같은 각이므로 $\mathrm{\angle} BAC = \angle CGF$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{GFC}$에서 $\mathrm{\angle} C$는 공통이고 $\mathrm{\angle} BAC = \angle FGC$이므로 $\triangle \mathrm{ABC} \backsim \triangle \mathrm{GFC}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 이등변삼각형이므로 삼각형 $\mathrm{GFC}$도 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{GF}} = \overline{GC} = 9$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} : \overline{GC} = \overline{BC} : \overline{FC}$에서 $\displaystyle 25 : 9 = \mathrm{30} : \overline{FC}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} = \frac{54}{5}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{GFC}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{GF}} + \overline{FC} + \overline{CG}$$\displaystyle = 9 + \frac{54}{5} + 9$$\displaystyle = \frac{144}{5}$이다. 따라서 $p = 5$, $q = 144$이므로 $p + q = 149$