기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수선의 발과 내적

문제

좌표공간의 점 A(3,6,0)\mathrm{A} ( 3 , 6 , 0 )에서 평면 3y−z=0\displaystyle \sqrt{3} y - z = 0 에 내린 수선의 발을 B\mathrm{B}라 할 때, OA⃗⋅OB⃗\mathrm{\vec{OA}} \cdot \vec{OB}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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해설

AB⃗//h⃗=(0,3,−1)\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} / / \vec{h} = ( 0 , \sqrt{3} , - 1 )에서 AB⃗=(0,3t,−t)\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} = ( 0 , \sqrt{3} t , - t )라 하면 OB⃗=OA⃗+AB⃗=(3,6+3t,−t)\displaystyle \vec{\mathrm{OB}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AB}} = ( 3 , 6 + \sqrt{3} t , - t )이고, B\mathrm{B}는 평면 위의 점이므로 3(6+3t)−(−t)=0\displaystyle \sqrt{3} ( 6 + \sqrt{3} t ) - ( - t ) = 0에서 t=−332\displaystyle t = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} ∴OB⃗=(3,32,332)\displaystyle \therefore \mathrm{\vec{OB}} = \left( 3 , \frac{3}{2} , \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) OA⃗⋅OB⃗=9+9=18\mathrm{\vec{OA}} \cdot {\vec{OB}} = 9 + 9 = 18

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#수선의 발#내적

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