수선의 발 삼각형 급수

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 , \overline{BC} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{5}$이고, $\mathrm{\triangle} ACB$󰁀$\mathrm{\triangle} ABP _{1}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{AP _{1}} = \overline{AC} : \overline{AB}$ $\displaystyle 2 : \mathrm{\overline{AP _{1}}} = \sqrt{5} : 2$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{\overline{AP _{1}}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ 따라서 $\mathrm{\triangle} ACB$와 $\mathrm{\triangle} ABP _{1}$의 닮음비는 $\displaystyle 1 : \frac{2}{\sqrt{5}}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{4}{5}$이다. 같은 방법으로 $\mathrm{\triangle} AP _{\mathit{n} - 1} P _{\mathit{n}}$󰁀$\mathrm{\triangle} AP _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$이므로 $\mathrm{\triangle} AP _{\mathit{n} - 1} P _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{\triangle} AP _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$의 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{4}{5}$이다. $\displaystyle \therefore S _{1} = \frac{4}{5} \times ( \triangle \mathrm{ABC} \text{의} \text{넓이} ) = \frac{4}{5}$ $\displaystyle S _{2} = \frac{4}{5} S _{1} = \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}$ $\displaystyle S _{3} = \frac{4}{5} S _{2} = \left( \frac{4}{5} \right) ^{3}$ $\vdots$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = 4$