기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수선의 발 내적

문제

그림과 같이 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 꼭짓점 C\mathrm{C}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 다음 조건을 만족시킬 때, CA⃗⋅CH⃗\mathrm{\vec{CA}} \cdot \mathrm{\vec{CH}}의 값은? [4점]

(가) 점 H\mathrm{H}가 선분 AB\mathrm{AB}를 2:32 : 3으로 내분한다. (나) AB⃗⋅AC⃗=40\mathrm{\vec{AB}} \cdot {\vec{AC}} = 40 (다) 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 3030이다.

①3636②3737③3838④3939⑤4040

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①

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해설

[출제의도] 두 평면벡터의 내적 이해하기 조건 (가)에서 ∣AH⃗∣=2k\left| {\vec{\mathrm{AH}}} \right| = 2 k, ∣HB⃗∣=3k\left| {\vec{\mathrm{HB}}} \right| = 3 k(k>0)( k > 0 ) 라 하면 ∣AB⃗∣=5k\left| {\vec{\mathrm{AB}}} \right| = 5 k 조건 (나)에서 AB⃗⋅AC⃗=∣AH⃗∣×∣AB⃗∣=40\mathrm{\vec{AB}} \cdot \mathrm{\vec{AC}} = \left| \mathrm{\vec{AH}} \right| \times \left| \mathrm{\vec{AB}} \right| = 40 2k×5k=402 k \times 5 k = 40이므로 k=2k = 2이고 ∣AB⃗∣=10\left| {\vec{\mathrm{AB}}} \right| = 10 조건 (다)에서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 3030이므로 12×∣AB⃗∣×∣CH⃗∣=30\displaystyle \frac{1}{2} \times \left| \mathrm{\vec{AB}} \right| \times \left| \mathrm{\vec{CH}} \right| = 30에서 ∣CH⃗∣=6\left| \mathrm{\vec{CH}} \right| = 6 ∠AHC=π2\displaystyle \mathrm{\angle} AHC = \frac{\pi}{2}이므로 CA⃗⋅CH⃗=∣CH⃗∣2=36\mathrm{\vec{CA}} \cdot \mathrm{\vec{CH}} = \left| \mathrm{\vec{CH}} \right| ^{2} = 36

태그

#벡터의 내적#정사영

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