수선의 발 거리 합 최대

직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\theta$이므로 그림에서 $\displaystyle \overline{OA'} = \overline{OA} \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = 2 \sin \theta$, $\displaystyle \overline{OB'} = \overline{OB} \cos \theta = 2 \sqrt{3} \cos \theta$ $\displaystyle \therefore \overline{OA'} + \overline{OB'}$$\displaystyle = 2 \sin \theta + 2 \sqrt{3} \cos \theta$ $\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + ( 2 \sqrt{3} ) ^{2}} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$$\displaystyle = 4 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \leq 4$ (단, 등호는 $\displaystyle \theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ 즉, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$일 때 성립한다.) 따라서 $\displaystyle \overline{OA}' + \overline{OB}'$이 최대가 되는 $\theta$의 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이다.