수선 길이 비 최솟값

[출제의도] 삼각형의 넓이와 절대부등식을 활용하여 최솟값을 구한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PN}} = \mathit{y}$라 하면 $\mathrm{\triangle} ABC = \triangle ABP + \triangle APC$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin 30 ^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times x + \frac{1}{2} \times 3 \times y$ ∴ $2 x + 3 y = 3$ $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\mathrm{\overline{PM}}} + \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\mathrm{\overline{PN}}} = \frac{2}{x} + \frac{3}{y}$에서 $\displaystyle 3 \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} \right) = ( 2 x + 3 y ) \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} \right)$$\displaystyle = 13 + \frac{6 x}{y} + \frac{6 y}{x}$ $\displaystyle \geq 13 + 2 \sqrt{\frac{6 x}{y} \times \frac{6 y}{x}} = 25$ (단, 등호는 $x = y$일 때 성립한다.) 따라서 $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{y} \geq \frac{25}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{y}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{25}{3}$이다. ∴ $p + q = 3 + 25 = 28$