수선 반복 등비급수

그림과 같이 원점을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$인 직선 $l$이 있다. 점 $\mathrm{P} _{1} ( 1 , 0 )$을 지나고 직선 $l$과 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP} _{1}} = \overline{P _{1} Q _{1}}$이 되는 점$\mathrm{Q} _{1}$을 선택하자. 점 $\mathrm{Q} _{1}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P} _{2}$라 하고, 점 $\mathrm{P} _{2}$를 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} = \overline{P _{2} Q _{2}}$가 되는 점$\mathrm{Q} _{2}$를 선택하자. 점 $\mathrm{Q} _{2}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P} _{3}$이라 하고, 점 $\mathrm{P} _{3}$을 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{2} P _{3}}} = \overline{P _{3} Q _{3}}$이 되는 점$\mathrm{Q} _{3}$을 선택하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점 $\mathrm{P} _{n} , \mathrm{Q} _{n}$에 대하여 선분 $\mathrm{P} _{n} \mathrm{Q} _{n}$의 길이를 $a _{n}$이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 4$ 일 때, $\cos \theta$의 값은? (단,$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이다.) [4점]

①$\displaystyle \frac{1}{4}$②$\displaystyle \frac{1}{2}$③$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$④$\displaystyle \frac{3}{4}$⑤$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$