순서쌍 평균 귀납법

$3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 집합 $A _{n} = \left\{ ( p , q ) | p < q \right.$이고 $p$, $q$는 $n$ 이하의 자연수$\left. \right\}$ 이다. 집합 $A _{n}$의 모든 원소 $( p , q )$에 대하여 $q$의 값의 평균을 $a _{n}$이라 하자. 다음은 $3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{2 n + 2}{3}$임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) $n = 3$일 때, $A _{3} = \left\{ ( 1 , 2 ) , \left( 1 , 3 \right) , \left( 2 , 3 \right) \right\}$이므로 $\displaystyle a _{3} = \frac{2 + 3 + 3}{3}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$이고 $\displaystyle \frac{2 \times 3 + 2}{3}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$이다. 그러므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{2 n + 2}{3}$가 성립한다. (ⅱ) $n = k ( k \geq 3 )$일 때, $\displaystyle a _{k} = \frac{2 k + 2}{3}$가 성립한다고 가정하자. $n = k + 1$일 때, $A _{k + 1} = A _{k} \cup \left\{ ( 1 , k + 1 ) , ( 2 , k + 1 ) , \cdots , ( k , k + 1 ) \right\}$ 이고 집합 $A _{k}$의 원소의 개수는 ${\square {( \text{가} )}}$이므로 $a _{k + 1}$$\displaystyle = \frac{{\square {( \text{가} )}} \times \frac{2 k + 2}{3} + {\square {( \text{나} )}}}{{} _{k + 1} \mathrm{C} _{2}}$ $\displaystyle = \frac{2 k + 4}{3}$$\displaystyle = \frac{2 ( k + 1 ) + 2}{3}$ 이다. 따라서 $n = k + 1$일 때도 $\displaystyle a _{n} = \frac{2 n + 2}{3}$가 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{2 n + 2}{3}$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( k )$, $g ( k )$라 할 때, $f ( 10 ) + g ( 9 )$의 값은? [4점] ①$131$②$133$③$135$④$137$⑤$139$