대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수직선 점과 삼각형 넓이 합

문제

수직선 위에 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ ( $n =$ $1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ )을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 $\mathrm{P} _{1}$ 의 $ $좌표는$ \mathrm{P} _{1} ( 0 )$이다. (나) $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} = 1$ 이다. (다) $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{\mathit{n - 1}}{n + 1} \mathrm{\times} \mathrm{\overline{P _{\mathit{n} - 1} P _{\mathit{n}}}}$ ( $n =$ $2$ , $3$ , $4$ , $\cdots$ )

선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$ 을 밑변으로 하고 높이가 $1$ 인 직각삼각형의 넓이를 $S _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots + S _{50} = \frac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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101

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해설

$\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}} = \mathit{a} _{n}$ 이라 하면 규칙 (다)에서 $\displaystyle a _{n} = \frac{n - 1}{n + 1} a _{n - 1}$ $\cdots$ ㉠㉠의 $n$ 대신 $2 , 3 , 4 , \cdots , n$ 을 차례로 대입하면 $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{3} a _{1}$ , $\displaystyle a _{3} = \frac{2}{4} a _{2}$ , $\displaystyle a _{4} = \frac{3}{5} a _{3}$ , $\cdots$ , $\displaystyle a _{n} = \frac{n - 1}{n + 1} a _{n - 1}$ 위의 식을 각 변끼리 곱하여 약분하면 $\displaystyle a _{n} = a _{1} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{5} \times \cdots \times \frac{n - 2}{n} \times \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ 따라서 $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} a _{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{50} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{50} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) = \frac{50}{51}$ ∴ $p + q = 101$

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