미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직선 절편 극한

문제

그림과 같이 곡선 y=x\displaystyle y = \sqrt{x} 위의 점 P(t,t)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( t , \sqrt{t} \right)}를 지나고 선분OP\mathrm{OP}에 수직인 직선 ll의 xx절편과 yy절편을 각각 f(t),g(t)f ( t ) , g ( t )라고 할 때, lim⁡t→∞g(t)−f(t)g(t)+f(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} \frac{g ( t ) - f ( t )}{g ( t ) + f ( t )}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점, t≠0t \ne 0) [4점]

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해설

[출제의도] 함수의 극한에 관한 성질을 알고 극한값 구하기 직선 l:y−t=−t(x−t)\displaystyle l : y - \sqrt{t} = - \sqrt{t} ( x - t ) f(t)=t+1,g(t)=tt+t\displaystyle f ( t ) = t + 1 , g ( t ) = t \sqrt{t} + \sqrt{t}이므로 lim⁡t→∞g(t)−f(t)g(t)+f(t)=lim⁡t→∞t(t+1)−(t+1)t(t+1)+(t+1)\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {} \frac{g ( t ) - f ( t )}{g ( t ) + f ( t )} = & \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{t} ( t + 1 ) - ( t + 1 )}{\sqrt{t} ( t + 1 ) + ( t + 1 )} \end{aligned}=lim⁡t→∞t−1t+1=1\displaystyle \begin{aligned} = & \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{t} - 1}{\sqrt{t} + 1} = 1 \end{aligned}

태그

#극한#무리함수#직선

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