수직인 두 접선

[출제의도] 원의 방정식과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 상수의 값의 합을 구한다. 원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 각각 이 원에 접하는 두 직선의 교점을 $\mathrm{D}$라 하자. 원의 중심과 접점을 연결한 선분은 접선에 수직이다. 또, 원 밖의 점 $\mathrm{D}$와 두 접점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 서로 같다. 따라서 사각형 $\mathrm{ADBC}$는 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. 대각선 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = \frac{\mathit{\sqrt{2}}}{2}$ 점 $\mathrm{C}$와 직선 $y = mx$ 사이의 거리가 선분 $\mathrm{CM}$의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{| m - 1 |}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $m ^{2} - 4 m + 1 = 0$ 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 $m$의 값의 합은 $4$이다.

[다른 풀이] 중심이 $( 1 , 1 )$이고 반지름의 길이가 $1$인 원의 방정식은 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $( \alpha , m \alpha )$, $( \beta , m \beta )$라 하자. $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$과 $y = m x$를 연립하면 $( x - 1 ) ^{2} + ( m x - 1 ) ^{2} = 1$ $( 1 + m ^{2} ) x ^{2} - 2 ( 1 + m ) x + 1 = 0$ 이차방정식의 두 실근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2 ( 1 + m )}{1 + m ^{2}}$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{1}{1 + m ^{2}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 각각 이 원에 접하는 두 직선의 교점을 $\mathrm{D}$라 하자. 원의 중심과 접점을 연결한 선분은 접선에 수직이다. 또, 원 밖의 점 $\mathrm{D}$와 두 접점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 서로 같다. 따라서 사각형 $\mathrm{ADBC}$는 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{BC}$ $\displaystyle \frac{m \alpha - 1}{\alpha - 1} \times \frac{m \beta - 1}{\beta - 1} = - 1$ $( 1 + m ^{2} ) \alpha \beta - ( 1 + m ) ( \alpha + \beta ) + 2 = 0$ ㉠을 이 식에 대입하면 $\displaystyle 1 - \frac{2 ( 1 + m ) ^{2}}{1 + m ^{2}} + 2 = 0$ $m ^{2} - 4 m + 1 = 0$ 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 $m$의 값의 합은 $4$이다.