미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직인 두 접선

문제

양수 kk에 대하여 두 곡선 y=kex+1y = ke ^{x} + 1, y=x2−3x+4y = x ^{2} - 3 x + 4가 점 P{\mathrm{P}}에서 만나고, 점 P{\mathrm{P}}에서 두 곡선에 접하는 두 직선이 서로 수직일 때, kk의 값은? [3점] ①1e\displaystyle \frac{1}{e}②1e2\displaystyle \frac{1}{e ^{2}}③2e2\displaystyle \frac{2}{e ^{2}}④2e3\displaystyle \frac{2}{e ^{3}}⑤3e3\displaystyle \frac{3}{e ^{3}}

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①

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해설

두 곡선의 교점의 xx좌표를 pp라고 하자. 두 곡선이 점 pp에서 만나므로, kep+1=p2−3p+4⋯(ㄱ)ke ^{p} + 1 = p ^{2} - 3 p + 4 \cdots ( \text{ㄱ} )이고 pp에서 접하는 두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 −1- 1이다. kep×(2p−3)=−1⋯(ㄴ)ke ^{p} \times ( 2 p - 3 ) = - 1 \cdots ( \text{ㄴ} ) (ㄱ)식을 kk에 관하여 변형하면 k=p2−3p+3ep\displaystyle k = \frac{p ^{2} - 3 p + 3}{e ^{p}}이고, (ㄴ)식을 kk에 관하여 변형하면 k=−1ep(2p−3)\displaystyle k = \frac{- 1}{e ^{p} ( 2 p - 3 )}이다. p2−3p+3ep=−1ep(2p−3)→2p3−9p2+15p−8=0\displaystyle \frac{p ^{2} - 3 p + 3}{e ^{p}} = \frac{- 1}{e ^{p} ( 2 p - 3 )} \rightarrow 2 p ^{3} - 9 p ^{2} + 15 p - 8 = 0이 성립한다. 따라서 p=1p = 1이므로 k=1e\displaystyle k = \frac{1}{e}

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#접선#지수함수 미분

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